\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°13}
\lfoot{Probabilités}

\begin{center}
\fbox{ \Large Probabilité (Niveau 1B) - A rendre tous les Vendredis jusqu'au 19 Juin}
\end{center}
\vspace{30pt}


\subsubsection*{Déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète. }

On dispose d'un sac qui contient trois jetons marqués $0$, deux jetons marqués $1$ et un jeton marqué $2$. On effectue deux tirages successifs d'un jeton avec remise dans ce sac. On considère les évènements définis par $A_i$: "Le premier jeton tiré porte le numéro $i$." et $B_i$: "Le second jeton tiré porte le numéro $i$". 

Soit $X$ la variable aléatoire donnant la somme des deux numéros obtenus. Déterminer la loi de $X$. 

\subsubsection*{Calculer si elle existe, l'espérance d'une variable aléatoire discrète. }
On considère la variable aléatoire $X$ donnée par :
$$
\forall k \in \entier{0,n}, \quad P(X=k) = \dfrac{1}{n+1}
$$
Calculer l'espérance de $X$. 

\subsubsection*{Calculer si elle existe, la variance d'une variable aléatoire discrète. }
On considère la variable aléatoire $X$ de l'exercice précédent donnée par :
$$
\forall k \in \entier{0,n}, \quad P(X=k) = \dfrac{1}{n+1}
$$
Calculer la variance de $X$. 

\subsubsection*{Reconnaitre une loi usuelle}

On effectuer une suite illimitée de lancers indépendants d'une pièce amenant Pile avec la probabilité $p$ (avec $0<p<1$). On pose $q = 1-p$. 
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de Faces obtenus avant le premier Pile. 
\begin{enumerate}
\item Reconnaitre la loi de la variable aléatoire $Y = X+1$.
\item En déduire que $X$ admet une espérance et une variance, que l'on précisera. 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Utiliser la formule des probabilités totales.}
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi est donnée par 
$$
\forall k \in \N^*, \quad P(X = k)= \dfrac{k-1}{k!}
$$
Si $X$ prend la valeur $k$, on place $k$ boules blanches et 1 boule rouge indiscernables au toucher dans une urne, puis on tire une boule de cette urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?


\end{document}